De binomiale kansverdeling
De kans op succes ofwel de kans dat een
obligatie in de 3e uitloting wordt uitgeloot is gelijk aan 0,20. De
kans op mislukking is dan logischerwijs gelijk aan 0,80.
Men is in het bezit van 4 obligaties.
a) Bereken de kans dat er precies één van de obligaties wordt
uitgeloot in de 3e uitloting.
Dus dit is de kans dat één obligatie wordt
uitgeloot en drie obligaties niet worden uitgeloot. De kans op 1
succes en 3 mislukkingen.
Uit kansrekening weet men nog dat het woordje
“en” betekent dat we kansen moeten vermenigvuldigen, dus 0,2*0,83 =
0,1024.
b) Waarom staat er eigenlijk 0,83 en niet
gewoon 0,8?
Echter het hoeft niet persé de 1e obligatie te
zijn die een succes oplevert, dat kan ook de 2e zijn of de 3e of de
4e. Uit kansrekening weet men nog dat het woordje “of” betekent dat
we kansen moeten optellen.
c) Ga na dat de totale kans op 1 succes
en 3 mislukkingen gelijk is aan 4*0,2*0,83.
d) Bereken nu zelf de totale kans op 2
successen en 2 mislukkingen.
e) Bereken nu zelf de totale kans op 4
mislukkingen.
Een situatie herkennen waarin we de binomiale
kansverdeling moeten toepassen kan aan de hand van de volgende
kenmerken; altijd maar 2 mogelijke uitkomsten met constante kansen
en die elkaar niet onderling beïnvloeden.
De algemene formule om binomiale kansen te
berekenen luidt als volgt:
 .
Deze formule ruilen we snel in voor het gebruik
van de GRM of PQRS.
Er bestaat een aantal kansvariabelen, waarvan
de uitkomstenruimte vanzelfsprekend uit 2 uitkomsten bestaat:
- het werpen met een geldstuk : kop
of munt
- een geboorte
: jongen of meisje
- een meerkeuzevraag :
goed of fout
- een warenkeuring :
goed- of afgekeurd
In het algemeen worden de 2 mogelijke
uitkomsten aangegeven met 'Succes' en 'Mislukking'. De kansen op
deze uitkomsten noteren we als volgt: P(Succes) = p en P(Mislukking)
= q = 1 - p. Een dergelijk experiment wordt in de praktijk vele
malen uitgevoerd of herhaald, steeds met dezelfde beginsituatie; de
kans op 'Succes' (en 'Mislukking') is bij iedere poging hetzelfde.
In de les Kansrekening zijn we al enkele van
dit soort opgaven tegengekomen.
U houdt een telefonische enquête onder
bedrijven in de regio Arnhem. Uit eerdere onderzoeken weet u dat de
non respons (bedrijven willen of kunnen geen medewerking verlenen
aan de enquête) 30% zal zijn.
Dus een bedrijf werkt wel mee (succes) of
niet mee (mislukking).
De 7%-obligatielening van de gemeente
Failliserwaard heeft een looptijd van 20 jaar. Er vinden 4
uitlotingen plaats voor het einde van deze looptijd. De 5e en
laatste uitloting staat gelijk aan het vereffenen van de lening. In
totaal zijn er 5000 obligaties van nominaal €1.000,- verhandeld. Per
uitloting worden er nu 1000 obligaties uitgeloot. Bij de laatste
uitloting worden de laatste 1000 obligaties sowieso uitbetaald.
Dus een obligatie wordt wel (succes) of niet
(mislukking) uitgeloot bij de 3e uitloting.
Kortom bij een binomiale kansverdeling gaat het
om de volgende situatie:
* een herhaling van steeds dezelfde
beginsituatie,
* per experiment steeds twéé uitkomsten,
Succes en Mislukking,
* P(Succes) = p en P(Mislukking) = q = 1
- p zijn per experiment steeds hetzelfde.
* Er is sprake van een reeks
onafhankelijke experimenten. De uitkomst van bijvoorbeeld de vijfde
poging wordt op geen enkele manier beïnvloed door de eerste vier
uitkomsten. En net zo heeft het resultaat van het vijfde experiment
geen enkele voorspellende waarde voor de uitkomst van het zesde
experiment.
De algemene formule om binomiale kansen te
berekenen luidt als volgt;
waarbij n = aantal experimenten
k = aantal successen
p = kans op succes
1-p = kans op geen succes
ofwel mislukking
De binomiale kansverdeling staat ook in het 2nd
- VARS ofwel het DISTR menu.
Met de pijltjes-toets scrollen we naar
mogelijkheid A:binomcdf .
Voer allereerst de verzonnen parameters n=52 en
p=0,65 in. Let op de rol van de punten en de komma’s in de syntax.
Gevolgd door de grenswaarde 38.
 
De invoervolgorde luidt dus als volgt: binomcdf(aantal
experimenten, succeskans, aantal successen)
De GRM berekent met binomcdf de kans op of 0 of
1 of 2 of 3 of ….. of 38 successen, ofwel de kans op hoogstens 38
successen.
binonpdf(52,0.65,38) = 0,0569 berekent de kans
op precies 38 successen.
Hoe moeten we dan met de GRM de kans op
minstens 38 successen berekenen?
 LET
OP! We hebben de eerste 37 successen niet nodig.
De eerste stap is het kiezen van de
kansverdeling die je wilt in het 'distribution' dialoog venster.
Standaard is PQRS ingesteld op de normale verdeling. Wij kiezen bv.
'binomial' (dit is de binomiale verdeling).
Vervolgens moeten de parameters van de
kansverdeling ingevuld worden. Bij een binomiale verdeling zijn dat
dus de waarden van n en p. We nemen weer de verzonnen parameters
n=52 en p=0,65. De grafiek van de kansfunctie verschijnt nu in
beeld.
We kunnen nu meteen in de onderste regel
aflezen dat:
* de kans op hoogstens 33 successen
gelijk is aan 0,4595
* de kans op minstens 34 successen
gelijk is aan 0,5404
De gevraagde kansen hadden te maken met de
waarde 38. Verander de waarde 33,8 in 38.
We kunnen nu meteen in de onderste regel
aflezen dat:
* de kans op minder dan 38 successen
gelijk is aan 0,8596
* de kans op precies 38 successen gelijk
is aan 0,0569
* de kans op meer dan 38 successen
gelijk is aan 0,0834
Dus de kans op hoogstens 38 successen is gelijk
aan 0,8596 + 0,0569 = 0,9165
en de kans op minstens 38 successen is gelijk
aan 0,0569 + 0,0834 = 0,1403.
Opdracht 1
De kans dat een willekeurig bedrijf te maken
krijgt met transportschade is gelijk aan 0,81.
a) Bereken de kans dat er precies 2 van de 20 bedrijven te
maken krijgen met transportschade.
b) Bereken de kans dat er minstens 4 van de 50 bedrijven te
maken krijgen met transportschade.
Opdracht 2
Na verbetering van het productieproces weten we
dat 4,5% van de pakjes lichter is dan 253,8 gram. Men controleert
van 90 halfponds pakjes margarine het gewicht.
a) Bereken de kans dat precies 2 pakjes lichter zijn dan 253,8
gram.
b) Bereken de kans dat meer dan 86 pakjes zwaarder zijn dan
253,8 gram.
c) Bereken de kans dat minstens 7 en minder dan 13 pakjes
lichter zijn dan 253,8 gram in een steekproef van 90 stuks.
Opdracht 3
Een bedrijf maakt een product A. Er wordt
gestreefd naar een productie van 5000 eenheden per week. Door
allerlei omstandigheden varieert de geproduceerde hoeveelheid. Voor
iedere werkweek van vijf dagen zijn de productiegrootte en de kans
op die productiegrootte bekend.
De kans dat een willekeurige werkweek een
geproduceerd aantal van minstens 5000 eenheden oplevert is gelijk
aan 0,65.
a) Bereken de kans dat er precies 8 van de 42 werkweken een
geproduceerd aantal van minstens 5000 eenheden oplevert.
b) Bereken de kans dat er hoogstens 38 van de 50 werkweken een
geproduceerd aantal van minstens 5000 eenheden oplevert.
Opdracht 4
Neem aan dat bij een levering van waren de kans
10% is dat een product onbruikbaar is.
a) Bereken met de formule de kans dat er bij een levering van
5 stuks precies twéé onbruikbaar is.
b) Bereken de kans dat er bij een levering van 33 stuks
minstens 6 onbruikbaar zijn.
c) Bereken de kans dat er bij een levering van 81 stuks
hoogstens 67 bruikbaar zijn.
Opdracht 5*
In een partij van 10 lampen is de kans 75% op
een goede lamp.
a) Bereken de kans dat er hoogstens 4
lampen goed zijn.
b) Bereken de kans dat er precies 8
lampen goed zijn.
c) Bereken de kans dat er minstens 4
lampen niet goed zijn.
Opdracht 6*
Uit een zeer grote partij batterijen worden
willekeurig 6 batterijen gekozen. Als 40% van de batterijen in de
hele partij kapot is, hoe groot is dan de kans dat er niet meer dan
4 van de 6 uitgekozen batterijen kapot zijn?
Opdracht 7*
Van een grote partij diepvriesboerenkool bevat
5% het vergif nitriet. Een supermarkt koopt 100 pakken in. Hoe groot
is de kans dat er minder dan vier pakken giftig zijn?
Opdracht 8
In een onderzoek naar de spontane
naamsbekendheid van de zoekmachine “Ilse” werd o.a gevraagd: Welke
zoekmachines om bv gegevens via internet te zoeken kent U?
Hieruit bleek dat 35% van de ondervraagden als antwoord de
zoekmachine Ilse noemden.
Gebruik bovenstaande gegevens om de volgende vragen te beantwoorden:
a) Bereken de
kans dat in een aselecte steekproef van 10 mensen precies 8
ondervraagden de zoekmachine Ilse kennen.
b) Bereken de
kans dat in een aselecte steekproef van 80 mensen minstens 22
ondervraagden , maar niet meer dan 35 ondervraagden de zoekmachine
Ilse kennen.
c) Bereken de
kans dat in een aselecte steekproef van 100 mensen hoogstens 75
ondervraagden de zoekmachine Ilse niet kennen.
Opdracht 9*
In 1994 is volgens het Statistisch Jaarboek
1998 15,32% van de 111.000 miljonairs jonger dan 45 jaar. Voor deze
opgave stellen we dit percentage gelijk aan 16%.
a) Bereken de kans dat er precies 9 van de 30 miljonairs
jonger zijn dan 45 jaar.
b) Bereken de kans dat er hoogstens 36 van de 150 miljonairs
jonger zijn dan 45 jaar.
Volgens een steekproef in 1999 zijn er 48 van
de 200 miljonairs jonger zijn dan 45 jaar. Neem aan dat het
percentage miljonairs jonger dan 45 jaar nog steeds gelijk is aan
16%.
c) Bereken de kans dat er minstens 48 miljonairs van de 200
miljonairs jonger zijn dan 45 jaar. Aan welk uitgangspunt begint men
te twijfelen na dit herhalingsonderzoek? Motiveer.
Opdracht 10
Uit regelmatige steekproefcontroles blijkt dat
2% van de geproduceerde balpen-vullingen niet voldoet aan de
gestelde kwaliteitseisen.
a) Bereken de kans dat er precies 4 van de 75 geproduceerde
balpen-vullingen niet voldoen aan de gestelde kwaliteitseisen.
b) Bereken de kans dat er hoogstens 6 van de 300 geproduceerde
balpen-vullingen niet voldoen aan de gestelde kwaliteitseisen.
c) Bereken de kans dat er minstens 96 van de 100 geproduceerde
balpen-vullingen wel voldoen aan de gestelde kwaliteitseisen.
d) Bereken de kans dat er minstens 1 en
minder dan 5 van de 150 geproduceerde balpen-vullingen niet voldoen
aan de gestelde kwaliteitseisen.
Opdracht 11
Een pakje shag moet minimaal 60 gram wegen. Een
machine is zo afgesteld dat het gewicht normaal verdeeld is met
verwachting m = 52 gram en
standaarddeviatie s = 4
gram.
a) Controleer dat de kans dat een pakje shag minder dan 50
gram bevat gelijk is aan 0,3085.
b) Bereken de kans dat van de 60 pakjes shag er precies 12
minder dan 50 gram bevatten.
Door een verandering van het productieproces is
de kwaliteit van het product verbeterd. In slechts 15% van de pakjes
shag bevat minder dan 50 gram.
c) Bereken de kans dat van de 60 pakjes shag er precies 12
minder dan 50 gram bevatten.
d) Bereken de kans dat van de 250 pakjes shag er minstens 225
meer dan 50 gram bevatten.
|
