Kansrekening

Klassenvoorbeeld 1

De kansverdeling van schadeclaims voor autoschade die worden uitgekeerd door een verzekeringsmaatschappij volgt hieronder;

a)  Bereken de kans op een betaling van meer dan $4000.

b)  Bereken de kans op een betaling van minstens $400 maar minder dan $4000.

c)  Bereken op twéé manieren de kans op een betaling van meer dan $0.

Klassenvoorbeeld 2

Beschouw de uitbetaling per spel.

Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie

Klassenvoorbeeld 3

Uit de gegevens van de eerste 5 maanden dat het restaurant geopend is wordt voor het aantal personen waaruit het eetgezelschap bestaat de volgende kanstabel opgesteld;

a)  “In de meeste gevallen bestaat het eetgezelschap uit 2 personen. Dus we moeten ons restaurant aantrekkelijk maken voor tweetallen”. Bent u het eens met deze conclusie van de bedrijfsleider? Motiveer.

b)  Welke aanname moet men maken om de verwachting van het  aantal  personen per eetgezelschap te kunnen berekenen? Motiveer.

c)  Geef in gewoon Nederlands en in termen van de context de betekenis van het gegeven dat de verwachting gelijk is aan 6,25.

d)  Bereken de standaarddeviatie van het aantal personen waaruit het eetgezelschap bestaat als gegeven is dat de gezelschappen van 10 of meer personen gemiddeld bestaan uit 18 personen.  Antwoord op 1 decimaal afronden.

Definities

Een schematische weergave maken van alle mogelijk uitkomsten kan middels een kanstabel of een boomdiagram.

Men kan een kans berekenen door middel van vermenigvuldigen als er sprake is van de onderstaande situaties.

*   in een kanstabel met rijen voor meerdere personen tegelijk toe te passen 

*   in een boomdiagram door één “boom” over meerdere takken te volgen

Vermenigvuldigen gebeurt als meerdere deelresultaten allemaal verkregen moeten worden voor één eindresultaat. Naarmate er meer eisen gesteld worden, zal de kans op een gunstige uitkomst kleiner worden.

Men kan een kans berekenen door middel van optellen als er sprake is van de onderstaande situaties.

*   in een kanstabel met meerdere rijen 

*   in een boomdiagram met meerdere takken

Optellen gebeurt als een bepaald resultaat op meerdere manieren verkregen kan worden. Naarmate een resultaat op meer manieren verkregen kan worden, zal de kans op een gunstige uitkomst groter worden.

1.     De eis voor een kans is dat een kans groter of gelijk is aan 0 en kleiner of gelijk aan 1.

2.     Dus ook na een optelling of een vermenigvuldiging van kansen ligt de nieuwe kans altijd tussen 0 en 1.

3.     Soms is het gemakkelijker om de gevraagde kans te berekenen door de overige kansen van 1 af te halen. Deze zogenaamde complementregel scheelt dan (behoorlijk) wat rekenwerk.

De verwachting, of verwachtingswaarde, is het gewogen gemiddelde dat men mag verwachten als het experiment een groot aantal keren zou worden herhaald. De toekomstige uitkomsten liggen verspreid in de buurt van de verwachting. Een goede maat voor de spreiding kennen we al, namelijk de standaarddeviatie.

Theorie

Als men onderzoek doet binnen een bedrijf, over dat bedrijf en alleen bestemd voor het mana­ge­ment van dat bedrijf, dan kan men wellicht volstaan met beschrijvende statistiek. Maar wanneer men de uitkomsten van het onderzoek wilt generaliseren naar een groter geheel of naar de nabije toekomst dan heeft men iets meer nodig. Want in dat geval zijn de dingen die men bekeken heeft maar een deel van het totaal, een steekproef. En op dat moment heeft men verklarende statistiek, ofwel kansrekening nodig.

Daarom bespreken we nu enkele basisprincipes van de kansrekening. We kijken naar een tweetal vaak gebruikte kansverdelingen. Met als doel dat men enig gevoel krijgt voor kans en toeval. Is vijf keer met een munt tossen en vijf keer kop krijgen toevallig of klopt er iets niet met die munt? En hoe zit dat als men vijftig keer tost en vijftig keer kop krijgt?

Onder de eersten die zich op een syste­ma­tische manier bezig hielden met het bestuderen van het mogelijke verloop van kansspe­len waren de Franse wiskundigen Pascal en Fermat. Zij kregen vragen voorgelegd van edellieden die wilden weten hoe de inzet verdeeld moest worden bij voor­tijdig afgebro­ken gokspelen. Door hun oplossingen van deze problemen zijn zij de grondleggers geworden van wat nu bekend staat als kansreke­ning.

Een modernere variant treft men aan bij de levensverzekeringswiskunde en de statistische proces controle.

Een onmisbaar hulpmiddel bij de kansrekening is het maken van een overzichtsschema van alle mogelijkheden met bijbehorende kansen.

We zullen in het kort de belangrijkste overzichtsschema’s laten zien. In het vervolg van de opgaven moet men dan zelf maar beslissen welk overzichtsschema het beste past bij de gegevens.

We beginnen met een schema’s die bekend voorkomen uit het maken van tabellen en grafieken uit de vorige periode.

Kanstabel

De antwoorden op de vraag naar het inkomen leverde het volgende inzicht op over de mogelijke inkomensverdeling;

Boomdiagram

Dit voorbeeld laat via een boomdiagram zien hoe het marktaan­deel van het welbekende merk X tot stand komt. (Bron:Nieuws­tri­bune van 26-3-92)

De mogelijkheden voor de toekomst worden gebaseerd op een analyse van het (recente) verleden.

Om in te schatten of een consument X zal kopen zijn twee zaken van belang:

1e  De merkaanhang (met een duur woord 'consumer franchice') waarbij de consument zijn houding t.o.v. merk X aangeeft. Hierdoor ontstaat een vierdeling onder de consumenten.

       Groep 1: zegt zeker X te gaan kopen.

       Groep 2: zegt waarschijnlijk X te gaan kopen.

       Groep 3: zegt misschien X te gaan kopen.

       Groep 4: zegt X niet te gaan kopen.

     Er zijn meettechnieken ontwikkeld om te bepalen in welke groep een consument past.

2e  De koopwaarschijnlijkheid binnen elke groep. Deze wordt ingeschat door te bepalen welk percentage binnen elke groep de laatste keer X heeft gekocht.

Voor merk X blijkt nu te gelden:

De verwachting en bijbehorende standaarddeviatie van een kansvariabele zijn om dezelfde manier te berekenen als een paar weken geleden het rekenkundig gemiddelde en standaarddeviatie van een kolom gegevens. Echter er is één groot verschil.

Het gaat nu niet om een kolom gegevens uit het verleden die zijn waargenomen middels een enquête en dus vastliggen. Niet alleen de kwaliteit, het gegeven zelf, maar ook de kwantiteit, de frequentie, is bekend.

De kolom gegevens van de toekomst zijn de mogelijke uitkomsten of waarschijnlijke uitkomsten. En geteld hebben we de uitkomsten zeker niet. We kunnen dus niet praten over frequenties maar over de bijbeho­rende kansen.

De verwachting, of verwachtingswaarde, is het gewogen gemiddelde dat men mag verwachten als het experiment een groot aantal keren zou worden herhaald. In onderstaand voorbeeld kijkt men dus eigenlijk niet na de resultaten bij één persoon maar naar een heleboel personen bij elkaar. De verwachting is als het ware een theoretisch gemiddelde.

Door de onzekerheid, weergegeven in de kansen, is de toekomstige uitkomst niet precies gelijk aan dit theoretisch gemiddelde, de verwachting. De toekomstige uitkomsten zitten wel in de buurt van de verwachting. De toekomstige uitkomsten liggen als het ware verspreid in de buurt van de verwachting. Een goede maat voor de spreiding kennen we al, namelijk de standaarddeviatie. Deze kunnen we ook nu weer gebruiken want we ruilen de frequenties gewoon in voor de kansen.

De antwoorden op de vraag naar het inkomen leverde het volgende inzicht op over de mogelijke inkomensverdeling;

Opdrachten

Opdracht 1

De antwoorden op de vraag naar het inkomen leverde het volgende inzicht op over de mogelijke inkomensverdeling;

a)  Hoeveel procent van de respondenten verdient 2000 euro of meer?

b)  Bereken de kans dat van 4 willekeurige personen de 1e persoon een inkomen van minder dan 1000 heeft en de 2e persoon tussen 2000 en 3000 en de 3e persoon een inkomen van 1000 of meer en de 4e persoon ook 1000 of meer.

c)  Bereken de kans dat precies 2 personen ieder 2000 of meer verdienen en precies 2 personen tussen de 1000 en 2000.

Verder is gegeven dat de man/vrouw verhouding bij de gegevens gelijk is aan 33% / 67%. Men neemt uit de stapel gegevens willekeurig één persoon.

d)  Kan men de kans berekenen dat men te maken heeft met een vrouw die tussen de 2000 en €3000,- verdient?
Zo ja, bereken de kans. Zo nee, waarom niet?

Opdracht 2

Gelezen in Tijdschrift Controlling, december 2000:

Schade bij goederentransport slecht verzekert.

Goederen raken tijdens het transport naar de klant relatief vaak beschadigd, waardoor het bedrijfsleven forse schade lijdt. Verzekeren blijkt niet altijd de oplossing omdat in de kleine lettertjes van de polissen veel schade wordt uitgesloten. Dit blijkt uit een onderzoek van de EVO, de behartiger van logistieke belangen van verladers, ontvangers en eigen vervoerders.

Enkele resultaten van dit onderzoek;

*   maar liefst 81% van de 1500 ondervraagde bedrijven heeft te maken gehad met transportschade

*   bij 20% van de bedrijven met schade ging het om een schadebedrag van meer dan ƒ25.000,-

*   bij 5% van de bedrijven met schade was de schade boven de ƒ250.000,-

*   in geval van schade doet de helft van de respondenten tevergeefs een beroep op de verzekeraar. Neem aan dat dit onafhankelijk is van de hoogte van de schade.

a)  Geef de bovenstaande onderzoeksresultaten op een overzichtelijke en leesbare wijze weer in een boomdiagram met bijbehorende kansen.

b)  Bereken de kans dat een bedrijf een schade van minder dan ƒ25.000 niet vergoed krijgt.

Opdracht 3

Voor merk X blijkt nu te gelden:

Groepsindeling:

Groep 1:       zegt zeker X te gaan kopen

Groep 2:       koopt waarschijnlijk X

Groep 3:       koopt misschien X

Groep 4:       koopt X niet

a)    Bereken de kans dat een willekeurige consument merk X zal gaan kopen.

b)    U staat bij een supermarkt en u ziet iemand naar buiten komen die net een nieuw pak van merk X heeft gekocht. Hoe groot is de kans dat deze persoon behoort tot groep 1?

Het boomdiagram biedt een manier om een korte- en een lange termijn beleid op te stellen voor behoud of vergroting van het marktaandeel.

c)     Korte termijn.
De groepen 2 en 3 zijn vrij gevoelig voor de prijs van X. Via de prijs (b.v. een prijspromotie) kan X aantrekkelijker worden voor groep 2 en groep 3.
Stel dat uw prijsaanpak de koopwaarschijnlijkheid binnen groep 2 vergroot tot 55% en binnen groep 3 tot 40%. Voor groep 1 en 4 zijn er geen wijzigingen.
Bereken de kans dat een willekeurige consument merk X zal gaan kopen.

d)    Lange termijn.
Hierbij gaat het om vergroting en consolidering van de merkaanhang. Via zaken als verpakking, reclame en promo­ties probeert u het merk zo sterk mogelijk te binden aan voor de consument belangrijke waarden. Dit alles is gericht op de vergroting van groep 1 en op de intensivering van hun merkvoorkeur.
Stel dat deze aanpak de groepsindeling wijzigt in:
 

     Bereken de kans dat een willekeurige consument merk X zal gaan kopen.

Opdracht 4*

U houdt een telefonische enquête onder bedrijven in de regio Arnhem. Uit eerdere onderzoeken weet u dat de non respons (bedrijven willen of kunnen geen medewerking verlenen aan de enquête) 30% zal zijn.

a)  Bereken de kans dat u bij de eerste vijf telefoon­tjes precies één bedrijf aantreft dat niet mee wil of kan wer­ken.

b)  Bereken de kans dat u bij de eerste vijf telefoon­tjes minstens vier bedrijven vindt die wel meewerken.

c)  Men belt drie bedrijven. Daarvan kunnen er 0, 1, 2 of 3 meewerken aan het onderzoek. Bereken voor elk van deze mogelijkheden de bijbehorende kans.

Opdracht 5*

Een bedrijf heeft in de afgelopen jaren een vrij duidelijk beeld gekregen van het betalingsgedrag van zijn klanten.

Wat er gebeurt met een willekeurige rekening wordt als volgt beschreven. Een lopende rekening kan ingedeeld worden in één van de categorieën:

        L1 : de rekening loopt  0-30 dagen,

        L2 : de rekening loopt 31-60 dagen,

        L3 : de rekening loopt 61-90 dagen.

        B : betaalde rekeningen,

        W : afgeboekt als wanbetaling.

De overgangen tussen deze mogelijkheden zijn samengevat in onderstaand boomdiagram.

a)  Bereken de kans dat de rekening binnen 60 dagen wordt betaald.

b)  Bereken de kans dat een rekening wordt afgeboekt als wanbetaling.

c)  Bereken op twee manieren dat een rekening niet wordt afgeboekt als wanbetaling.

d)  Bereken de kans dat een rekening die na 30 dagen nog niet betaald alsnog betaald wordt.

e)  Bereken de kans dat een rekening die betaald is een rekening was die 31-60 dagen uitstond.

Opdracht 6

Verzekeringsmaatschappij “Buitenwesten” heeft onderzoek gedaan naar het aantal schadeclaims van verzekerden, in verband met woninginbraken. Hieruit blijkt dat het aantal claims per week in een bepaalde wijk van een zeker stad de volgende kansverdeling heeft.

a)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van het aantal schadeclaims per week.

b)  Geef de betekenis in gewoon Nederlands en in termen van de context van de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie.

Opdracht 7

In een bepaalde stadswijk valt gedurende een maand een aantal straatlantaarns uit, doordat de lamp defect is.

Het aantal defecte lampen per maand x heeft de volgende kans­verdeling:

a)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van het aantal defecte lampen per maand.

b)  Geef de betekenis in gewoon Nederlands en in termen van de context van de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie.

Opdracht 8*

Een firma verkoopt tweedehands computers. De firma geeft één jaar garantie op de computers. De firma heeft op basis van jarenlange ervaring de volgende kanstabel opgesteld voor het aantal storingen binnen een  jaar van één  computer.

a)  Bereken in twee decimalen nauwkeurig de verwachting van het aantal storingen en leg uit wat deze uitkomst voor betekenis heeft.

De firma wil een inschatting maken van de te verwachten reparatiekosten. Met een servicebedrijf is de afspraak gemaakt dat er in de garantieperiode van één jaar €80,- per reparatie wordt betaald.

b)  Bereken de verwachting van de reparatiekosten van één verkochte computer afgerond op hele euro’s.

Opdracht 9

Xerox Corporation is (was?) een multinational die op het gebied va informatietechnologie zowel producten als diensten aanbiedt. Het meest bekend zijn de  kopieerapparaten, maar de firma houdt zich met veel meer zaken bezig. Zo is er bijvoorbeeld de afdeling  Multinational Documentation and Training Services MD&TS, die een team van professionele schrijvers en vertalers in dienst heeft.

Deze afdeling beschikt over een netwerk van computers voor haar medewerkers. Maar het bleek dat tijdens piekperioden sommige medewerkers geen toegang konden krijgen tot het systeem. Om dit probleem op te kunnen lossen, werd een computersimulatiemodel ontworpen. De volgende kanstabel vormde een van de gegevens die aan het model ten grondslag lagen.

Bron: dhr. S.M. Flouris van Xerox Xorporation.

(terwille van de eenvoud zijn de werkelijke gegevens aangepast).

a)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van de tijdsduur van een computersessie.

De kosten voor het gebruik van het computersysteem bedragen $12 per minuut. Een medewerker van de afdeling MD&TS maakt in een zekere week vijf keer gebruik van het computernetwerk.

b)  Bereken de verwachting van de totale kosten van deze vijf computersessies.

Opdracht 10

Een bedrijf maakt een product A. Er wordt gestreefd naar een productie van 5000 eenheden per week. Door allerlei omstandig­heden varieert de geproduceerde hoeveelheid. Voor iedere werk­week van vijf dagen zijn de productiegrootte en de kans op die productiegrootte bekend.

Geproduceerde aantal eenheden per "werkweek" van product A en de bijbehorende kansen.

Bron: intern onderzoek.

a)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van de productie per week.

b)  De productiekosten per eenheid bedragen € 0,10 . Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van de productiekosten per week.

c)  Stel dat de vaste kosten per week gelijk zijn aan €300,-. Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van de totale kosten per week.

Opdracht 11*

Tijdens het produceren van een partij machinaal geweefde vloerkleden zijn door een afstellingfout aan de machine kleine weeffoutjes ontstaan. Men heeft vastgesteld dat het aantal fouten k dat in een kleed voorkomt als de machine deze afstellingfout heeft de volgende kansverdeling heeft :

a)  Bereken de ontbrekende kans A.

b)  Bereken de kans dat er in één kleed meer dan 2 fouten voorkomen.

Beschouw nu eens twee vloerkleden.

c)  Bereken de kans dat in ieder kleed 0 fouten voorkomen.

d)  Bereken de kans dat in beide kleden samen precies 2 fouten voorkomen.

e)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van het aantal fouten in een kleed.

f)   Geef in gewoon Nederlands en in termen van de context de betekenis van de berekende verwachting en standaarddeviatie.

De kleden zonder fouten verkoopt de fabrikant voor €500,- per stuk aan de detailhandel, de kleden met 1 of meer fouten gaan voor €200,- per stuk naar een dumphandelaar.

g)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van de inkomsten per kleed dat geproduceerd wordt terwijl de machine bovengenoemde afstellingfout heeft.

Opdracht 12

De 7%-obligatielening van de gemeente Failliserwaard heeft een looptijd van 20 jaar. Er vinden 4 uitlotingen plaats voor het einde van deze looptijd. De 5e en laatste uitloting staat gelijk aan het vereffenen van de lening. In totaal zijn er 5000 obligaties van nominaal € 1.000,- verhandeld. Per uitlo­ting worden er nu 1000 obligaties uitgeloot. Bij de laatste uitloting worden de laatste 1000 obligaties sowieso uitbe­taald. 

Barones van Failliet is in het bezit van één obligatie.

De letter W betekent dat die ene obligatie Wel wordt uitgeloot en de letter N dat die ene obligatie Niet wordt uitgeloot.

a)  Neem het boomdiagram over en maak het af met het aantal uitlotingen en de bijbehorende kansen.

b)  Bereken de kans dat de obligatie bij de derde trek­king wordt uitgeloot. En de vierde.

Bij een uitloting van obligaties ontvangt men uiteraard het nominale bedrag plus de rente die men aan het eind van de looptijd van deze 7%-obligatielening zou ontvangen.

Bij elke uitloting beschikt men dus eerder over dit bedrag. Het effectief rendement is dan ook per uitloting verschillend.

Dit rendement met bijbehorende kansen van voorkomen per jaar van uitloting is weergegeven in de onderstaande tabel.

c)  Bereken de verwachting en de bijbehorende standaarddeviatie van het effectieve rendement van één obligatie.