De normale kansverdeling

• Klassenvoorbeelden
• Definities
• Theorie
• Voorbeeld 1 met GRM
• Voorbeeld 1 met PQRS
• Opdrachten
• Deze pagina als WORD-bestand

Klassenvoorbeeld 1

a)       Controleer met de tabel op de volgende bladzijde dat P(z < 1,45) = 0,9265.

b)       Maar dan weten we ook dat P(z > 1,45) = 0,0735. Waarom?

c)       Bereken nu zelf  P(z < -1,45) en P( -1,45 < z < 1,45 ). Geef de berekening duidelijk weer.

d)       Bereken met behulp van deze tabel voor de standaardnormaal verdeelde kansvariabele z de kansen; P(z < 2,18) ; P(z < -1,30) ; P( -3,29 < z < 0,65 ).

Klassenvoorbeeld 2

Een machine vult pakken met meel. Het gewicht aan meel dat door de machine afgeleverd wordt, is normaal verdeeld met  m = 1015 gram en s = 10 gram. Hoeveel procent van de afgeleverde pakken bevat minder dan 1000 gram meel?

a)       Bereken voor het gewicht van 1000 gram de bijbehorende z-score
z =

b)       Bepaal nu de kans dat een pak minder dan 1000 gram meel bevat. 

De z-tabel

Definities

Men moet bij gegeven ondergrens en / of bovengrens de kans kunnen berekenen met een normale kansverdeling waarvan de verwachting m en de standaarddeviatie s bekend zijn kunnen berekenen.

Men moet bij een gegeven kans de ondergrens of bovengrens met een normale kansverdeling waarvan de verwachting m en de standaarddeviatie s bekend zijn kunnen berekenen.

Bij de statistische benadering van het procesbeheersingsprobleem wordt gebruik gemaakt van het begrip: statistisch beheerst. Met een statistisch beheerst proces hebben we een procesverloop op het oog waarbij de waargenomen procesvariabele fluctueert volgens een zuiver toevalspatroon, dat kan worden benaderd door een normale verdeling. Maar binnen de grenzen van de Upper Action Limit en de Lower Action Limit.

Het gemiddelde van normale verdelingen is weer een normale verdeling waarvan we de verwachting niet hoeven aan te passen maar de standaarddeviatie wél.

De aangepaste standaarddeviatie is gelijk aan.

Hoe berekenen we de nieuwe verwachting of de nieuwe standaarddeviatie als een ondergrens of bovengrens met bijbehorende kans is gegeven.

Theorie

De gedaante van de normale verdeling wordt een klokvorm genoemd, of ook wel Gausskromme naar de wiskundige C.F.Gauss, die deze functie als eerste uitgebreid heeft bestudeerd.

De formule van deze kansdichtheidsfunktie f(x) van een normale verdeling is van de vorm:

We zien dus dat bij de normale verdeling twee parameters een rol spelen.

Op de eerste plaats is er de verwachtingswaarde m die aangeeft waar de top van de normale verdeling ligt. Op de tweede plaats is er de standaarddeviatie s die aangeeft of de gedaante breed of spits is.

Men weet dat e en p gewone constante getallen zijn, e » 2,71828 en p » 3,14159.

Hoewel er vaak gesproken wordt van de normale verdeling, is er in feite dus sprake van een grote familie van normale verdelingen omdat we vrij zijn in de keuze van m en s.

Voorbeeld 1 met GRM

Inmiddels weten de Havisten en VWOers hoe men de kansberekening kan laten uitvoeren door de grafische rekenmachine.

Door te drukken op 2nd – Vars komt men in het DISTR menu:

Het klassenvoorbeeld 2 lossen we dan als volgt op:

Kies optie 2: normalcdf en druk op Enter.

In de functie normalcdf moeten we nu achtereenvolgens invullen ondergrens, bovengrens, verwachting en tot slot standaarddeviatie.

Gegeven zijn de verwachting = 1015 en standaarddeviatie = 10.

Verder staat er nog “minder dan 1000 gram”, dus de bovengrens is 1000.

Maar wat is dan de ondergrens? 0 want er zijn geen negatieve gewichten.

Maar met een negatieve ondergrens weet de GRM ook wel raad. Als men op zeker wil spelen.

Bereken de kans dat een pak meel meer dan 1005 gram en minder dan 1022 gram bevat.

Dit gaat heel gemakkelijk met de grafische rekenmachine, zowel ondergrens 1005 als de bovengrens 1022 zijn gegeven. Men hoeft zelf niks meer te kiezen.

Het laatste onderdeel van de opdracht 5 lossen we met behulp van de grafische rekenmachine als volgt op:

We drukken op 2nd – Vars en komen in het DISTR menu:

Kies optie 3: invNorm en druk op Enter.

In de functie invNorm moeten we nu achtereenvolgens invullen linker kans, verwachting en tot slot standaarddeviatie.

Gegeven zijn de kans = 0,1 , de verwachting = 5000 en standaarddeviatie = 350.

Pas op dat men goed beredeneert of men in de grafische rekenmachine 0,1 of 0,9 invult.

Voorbeeld 1 met PQRS

We tonen dit programmaatje omdat het een groot extra voordeel heeft ten opzichte van de GRM. De getoonde grafiek en het verspringen van de verticale lijn die de gevraagde kansen van elkaar scheidt. Diegenen die iets meer moeite hebben met deze kansverdeling kunnen dit programmaatje gebruiken om meer begrip te kweken.

Open het programma PQRS new via de links Start-Programs-Statistics.

Het klassenvoorbeeld 2 lossen we dan als volgt op:

De kans dat een pak meel minder dan 1000 gram bevat is dan gelijk aan 0,0668.

Bereken de kans dat een pak meel meer dan 1005 gram en minder dan 1022 gram bevat.

Deze berekening moet met PQRS in twéé stappen worden uitgevoerd.

Stap 1:

Controleer zelf dat de kans dat een pak meel meer dan 1005 gram bevat gelijk is aan 0,8413.

Stap 2:

Het gewicht mag niet méér dan 1022 gram worden dus de kans 0,2419 is teveel.

Het eindantwoord  is dan gelijk aan 0,8413 – 0,2419 = 0,5994.

Merk op dat de kans op minder dan 1022 gram teveel is want het gewicht mag niet minder dan 1005 gram worden. Dus de kans 0,1587 is nu teveel. Men kan het eindantwoord dus ook als volgt berekenen 0,7580 - 0,1587 = 0,5993.

De kleine afwijkingen in de 4e decimaal worden verklaard door het feit dat we bij PQRS de afgeknotte kansen in beeld krijgen. Als we willen kunnen we ook met PQRS de kansen in 13 decimalen nauwkeurig opschrijven?

Het laatste onderdeel van opdracht 5 lossen we met behulp van PQRS als volgt op:

‘goedkoopste’ betekent dat we de bedragen onder de €5.000 zoeken.

We kunnen in PQRS gewoon kansen invullen in de laatste regel, dus

Vervolgens drukken we dan op Enter

We lezen dan af dat het maximale bedrag van de ‘goedkoopste’ chauffeurs gelijk is aan €4.551,4.

Pas op dat men goed beredeneert of men in PQRS de kans “links” of ”rechts” invult.

Opdrachten

Opdracht 1

a)       Ga na dat voor de normale verdeling met m = 255 gram en s = 3,2 gram de kans op minder dan 250 gelijk is aan 0,0594.

Bereken voor de normaal verdeling met m = 250 en s = 30 achtereenvolgens de kansen op:

b)       meer dan 260

c)       minder dan 270

d)       tussen 240 en 265.

Opdracht 2

Volgens de systematiek van de afspraken van Bretton Woods met betrekking tot de wisselkoersen probeert men nu ook om de koers van de euro ten opzichte van de dollar binnen vooraf gestelde grenzen te houden. Als de koers van de euro ten opzichte van de dollar buiten deze bandbreedte dreigt te komen dan zal de Europese bank interveniëren door renteveranderingen of door het opkopen van euro’s.

Neem voor de rest van de opgave aan dat de koers van de euro ten opzichte van de dollar normaal verdeeld is. Met 99,72% betrouwbaarheid zal de koers van de euro zich bewegen tussen de grenzen $ 0,95 en $ 1,07.

a)       Bereken het rekenkundig gemiddelde van beide grenzen.

Neem aan dat het rekenkundig gemiddelde van beide grenzen gelijk is aan het populatiegemiddelde m van de normale verdeling die de koers van de euro ten opzichte van de gulden beschrijft.

b)       Controleer met een vuistregel dat de bijbehorende standaarddeviatie gelijk is aan $0,02.

c)       Bereken de kans dat de koers groter is dan $1,045.

d)       Bereken de kans dat de koers kleiner is $ 0,98.

Opdracht 3

In een fabriek vindt een automatisch vulproces plaats van zakjes cacaopoeder. De verpakking vermeldt een nettogewicht van 250 gram.

Het verpakt gemiddeld nettogewicht is een normaal verdeelde kansvariabele met m = 253 gram en s = 2 gram.

a)       Hoe groot is de kans dat in een willekeurig zakje minder zit dan er op staat?

b)       Hoeveel procent van de zakjes bevat meer dan 257,4 gram?

Opdracht 4

In de laatste tentamenperiode hebben 514 mensen aan het tentamen voor module X meegedaan. De resultaten staan in het histogram hieronder. Zoals u kunt zijn hebben de cijfers ongeveer een normale verdeling. Het gemiddelde is 55 en de standaarddeviatie is 16,61.

a)       Geef een goede reden aan waarom de verdeling van het cijfer voor module X niet precies normaal verdeeld is?

Laten we eerst een willekeurige student bekijken. Bij het beantwoorden van de vragen moet u er van uit gaan dat het cijfer voor module X normaal verdeeld is met verwachting m  = 55 en standaarddeviatie s = 16,61.

b)       Bereken de kans dat een student een hoger cijfer haalt dan 75.

c)       Bereken de kans dat een willekeurige student 40 of hoger haalt, maar lager dan 55.

Opdracht 5

Het geldbedrag waarvoor de chauffeurs frauderen is per chauffeur gemiddeld gelijk aan €5.000 met een standaarddeviatie van €350,-. Neem aan dat dit geldbedrag per chauffeur normaal verdeeld is.

a)       Bereken de kans dat het geldbedrag van een frauderende chauffeur groter is dan €5.200,-.

b)       Bereken de kans dat het geldbedrag van een frauderende chauffeur groter is dan €5.100,- maar kleiner dan €5.750,-.

c)       Bereken het maximale geldbedrag waarvoor ten hoogste 10% van de ‘goedkoopste’ chauffeurs fraudeert. Pas op, zoek een bedrag bij een gegeven kans!

Opdracht 6*

Een machine vult flessen slasaus. De machine is ingesteld op een gemiddeld vulgewicht van m=1010 gram en een standaarddeviatie s =3 gram. Op het etiket staat een vulgewicht van 1000 gram. Neem aan dat het vulgewicht normaal verdeeld is.

a)       Bereken de kans dat een fles minder dan 1000 gram bevat.

b)       Bepaal a, als de kans dat een fles meer dan a gram bevat gelijk is aan 0,0062.

c)       Bepaal a, als de kans dat een fles minder dan a gram bevat gelijk is aan 0,1003.

Opdracht 7*

Bierbrouwerij De Schuimkraag produceert flessen bier met een gemiddelde inhoud van 45 centiliter en een bijbehorende standaarddeviatie van 1,25 centiliter. De inhoud van de flessen is normaal verdeeld.

a)       Hoeveel procent van de flessen bevat minder dan 43 cl?

b)       Hoeveel procent van de flessen heeft een inhoud tussen 43,5 en 47,6 cl?

c)       95% van de flessen bevat meer dan a cl. Bereken de grenswaarde a.

d)       Hoeveel procent van de flessen heeft een inhoud tussen 42,7 cl en 45,9 cl?

Opdracht 8*

Via internet kunnen vele homepages worden bezocht. Van de homepage van www.Startpagina.nl is bekend dat deze dagelijks gemiddeld 1,4 miljoen keer wordt bezocht.

Neem voor de rest van de opgave aan dat op een willekeurige dag het dagelijkse aantal bezoeken normaal verdeeld is met een verwachting van 1,4 miljoen keer en een standaarddeviatie van 0,4 miljoen keer.

a)       Bereken de kans dat op een willekeurige dag de homepage van www.Startpagina.nl meer dan 1,27 miljoen keer wordt bezocht.

b)       Bereken de kans dat op een willekeurige dag het aantal bezoeken aan de homepage van www.Startpagina.nl tussen 1,25 en 1,32 miljoen ligt.

c)       Bereken het maximale aantal bezoeken op een willekeurige dag aan de homepage van www.Startpagina.nl als de kans op hoogstens dit maximale aantal bezoeken op een willekeurige dag gelijk is aan 0,75.

Opdracht 9

Je ziet dat de z-waarde = 1,96 bij een kans van 0,025.

Bereken of bepaal de z-waardes voor de  volgende kansen:

0,005; 0,01; 0,005 en 0,05.